原函数一定可积不一定可积。有些函数虽然有原函数，但积分后不能用初等函数表示，可积性不一定有原函数，原函数不一定有可积性，函数在一个区间内可积但不是原函数，原函数不一定存在，原函数是函数的不定积分，而可积性是指函数在某个区间上的定积分的存在性，原函数的存在性与可积性密切相关。
如果有一个可微函数f(x)使得在这个区间上的任意一点都有dF(x)f(x)dx，那么这个函数F(x)就叫做函数F(x)在这个区间上的原函数。如果f(x)是连续的，则它在上半部分是可积的，可积与原函数的存在性在计算方法和应用范围上是有区别的。条件如下:有原函数，必可积，积分值可用牛顿公式计算。可积就是可计算面积，如果可能的话，广义积分也是可积的，但是没有原函数。注:原函数存在定理为:若f(x)存在于可积函数和原函数中，则可积函数和原函数的关系如下:可积函数和原函数的关系是紧密相连的。原函数是函数的不定积分，而可积性是指函数在一定区间内定积分的存在性，原函数的存在性与可积性密切相关。1.可积性的定义:一个函数在一个区间内是可积的，这意味着它的定积分存在于这个区间内。具体来说，如果一个函数的上积分和下积分在一定区间内相等，则该函数是可积的。
2.原函数的定义:函数的原函数是指它的不定积分。具体来说，如果一个函数的导数等于给定的函数，那么这个函数就是原函数。原函数可以通过对给定的函数进行积分得到，积分过程中引入的常数称为积分常数。原函数是指对于一个定义在区间上的已知函数f(x)，如果存在可导函数f(x)使得在区间上的任意一点都存在dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为函数F(x)在区间上的原函数。
a，b]上连续，则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a，b]上连续。
/image-3/[2、为什么可积是原函数存在的必要条件之一?可积函数和原函数的区别在于，如果原函数存在，那么它一定是可积的，积分值可以用牛顿公式计算，可积面积是可计算的。如果可能的话，广义积分可以是可积的，但是没有原函数。一、基本介绍如果f(x)在例中:1。f(x)可以取如下(定义在(1，1)上):当X在(1，0)时，F(X)0；当x在(0，1)内时，f(x)1.f(x)可积但没有原函数。2.g(x)1/x在(0，1)上有原函数lnx，但g(x)在(0，1)上不可积。3.它可能是可积的(如例1)，但也可能不可积。4.对于第二种间断，可积不一定是振荡的；但要具备原始功能，就必须是“振荡的”(所谓“振荡”并没有严格的定义，这里我们只做直观的理解)。
a，b]上的定积分存在，我们就说f（x）在[a，b]上可积。即f（x）是[a，b]上的可积函数。充分条件定理1设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积。
定理3设f（x）在区间[a，b]上单调有界，则f（x）在[a，b]上可积。二、可积函数数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为黎曼可积（也即黎曼积分存在），或者HenstockKurzweil可积等等。给定集合X及其上的σ代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。
/image-5/[3、高数问题,求举个例子,可积不一定存在原函数,存在原函数也不一定可...①可导性和导函数是针对定义域内的点；到处都可以有导数函数，此外，函数在某处也可以求导；只要一个函数在定义域的某一点不可导，就不存在导函数，即使它在其他任何地方都是可导的。②不定积分的可积函数和原函数:首先，一个函数有原函数，即存在一个导函数，其导函数等于目标函数。函数可积性是指如果f(x)有两个完整的概念:可积但原函数不一定存在，原函数的存在不一定可积，它们之间没有必然的联系。可积的充分条件是函数在区间内连续或有界且有有限个不连续点，或者函数在区间内单调。原函数存在的充分条件是连续的。另外，函数包含第一类不连续点，所以没有原函数，包含无限种。
a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。这里已经可以看出区别了，可积函数是要看它的区间的，它必须满足条件：1.[a,b]上的连续函数；2.在[a,
/image-8/[4、函数在区间内可积但没有原函数原函数不一定可积，有些函数虽然有原函数，但不能用初等函数表示。假设现阶段不可积，F (x)在[a，b]上有原函数，这意味着F(x)的导数是F(x)。F (x)在[a，b]上的可积性意味着黎曼和(积分和)s总是有一个确定的极限，如果f(x)在[a，b]上有原函数且连续，则f(x)必可积。现在只知道在连续函数的基础上，通过改变上界积分来构造原函数。